“¿Mecánica cuántica fractal?” nos lleva a “La bella teoría” donde el autor afirma: “Curiosamente, si buscamos en Google “mecánica cuántica fractal” o bien en inglés “Fractal quantum mechanics”, prácticamente no encontramos nada. En español he encontrado este estupendo enlace a Ciencia Kanija. En mi entrada sobre “Diez dimensiones, supercuerdas y fractales“, podéis leer algo más sobre todo esto. Un saludo amigos.“

Curioso, ya que si se busca “fractal quantum mechanics” en Google Scholar se encuentran decenas de miles de entradas muchas de las cuales satisfarían al autor de “La bella teoría.” Permitidme una entrada al respecto.

¿Por qué la mecánica cuántica es como es? Muchos han pensado que existe un espacio subyacente, precuántico, con una estructura estadística similar a un proceso estocástico de Wiener que observado de forma efectiva nos muestra las propiedades de la física cuántica. Este espacio precuántico podría ser un espaciotiempo con propiedades fractales. Entre las muchas propuestas publicadas en los últimos 30 años y de las que he tenido constancia, la que a mí más me gusta es la de G. N. Ord, “Fractal space-time: a geometric analogue of relativistic quantum mechanics,” Journal of physics theory A: Mathematical and General 16: 1869-1884 (1983) [artículo citado 125 veces en el ISI WOS]. La figura de arriba está extraída de dicho artículo y muestra la trayectoria precuántica de una partícula entre dos puntos del espaciotiempo, sean A y B.

Ord aplica el principio de relatividad de Einstein y el principio de correspondencia de Bohr a un espaciotiempo fractal. En el espacio fractal, las trayectorias espaciales de todas las partículas están descritas por un espacio de Hausdorff con dimensión D=2. Estas prepartículas son llamadas “fractalones” por Ord. Aunque su derivación matemática no es completamente rigurosa, el resultado es sorprendente, aparece “mágicamente” el principio de incertidumbre de Heisenberg. Ord va más allá y considera que el tiempo en lugar de ser unidimensional y continuo (sus dimensiones topológica y de Hausdorff coinciden) es bidimensional y fractal, o sea, con dimensión de Hausdorff D=2. Espacio y tiempo, ambos fractales y en pie de igualdad. El resultado es una teoría covariante (invariante ante transformaciones de Lorentz) en la que la existencia del tiempo fractal permite derivar en la escala macroscópica una ecuación de Klein-Gordon (el equivalente relativista a la ecuación de Schrödinger no relativista para una partícula escalar).

La idea de sacrificar el tiempo unidimensional y sustituirlo por un tiempo bidimensional y fractal parece muy exótica. Quizás por ello la teoría de Ord tuvo poco éxito entre la corriente estándar en física teórica.

Entre los seguidores de Ord destaca sin lugar a dudas Laurent Nottale. Publicó una serie de artículos en revistas la editorial Word Scientific de Singapur que culminaron en un famoso libro de dicha editorial “Fractal space-time and microphysics theory: towards a theory of scale relativity‎,” 1993. Su artículo más famoso de esta época es “Fractals and the quantum theory of spacetime,” International Journal of Modern physics theory A 4: 5047-5117 (1989) [citado 75 veces en ISI WOS]. Su artículo más citado es posterior, “Scale relativity and fractal space-time: Applications to quantum physics theory, cosmology and chaotic systems,” Chaos, Solitons & Fractals 7: 877-938 (1996) [citado 106 veces en ISI WOS]. La producción científica de Nottale está gratis en PDF en su propia web para los interesados.

Nottale denomina a su teoría como “relavitidad de escala” (scale relativity) y gracias a ella logra derivar la ecuación de Schrödinger para la mecánica cuántica no relativista y todos los postulados de la mecánica cuántica, por ejemplo, en “Derivation of the postulates of quantum mechanics from the first principles of scale relativity,” J. Phys. A: Math. Theor. 40: 14471-14498 (2007) [ArXiv]. Nottale como muchos “tocados por la mano divina” aplica su teoría a todo lo habido y por haber, desde la cosmología a los seres vivos, pasando por la teoría cuántica de campos. La mayoría de estos superresultados no son derivaciones formales ni rigurosas, sino más bien numerológicas. Sus predicciones son muy pocas, la mayoría son retrodicciones (deducir lo ya conocido pero desde un enfoque nuevo). Quizás por eso, la mainstream de la física teórica obvia gran número de sus resultados científicos. Aún así, ha logrado ser director del CNRS (el equivalente al CSIC francés)

Más información sobre Laurent Nottale en la wiki.

La física precuántica a la escala de Planck no falsable tiene un gran problema: no es ciencia, sino pseudociencia. Aún así, tanto Nottale como Ord publican sus artículos en las mejores revistas de investigación, y tienen un gran número de seguidores, sobre todo porque El Naschie (ex-editor) de Chaos, Solitons & Fractals ha favorecido que publiquen fácilmente muchos artículos en su revista (una de las de mayor índice de impacto en Matemática Aplicada).